你上传的图片是一道关于Langmuir 吸附速率方程推导的题目，以下是完整的解释、推导与关键知识点整理：

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📌 题目要求

气体 A 在催化剂表面上为单分子吸附，且吸附热与覆盖度 \(\theta\) 无关。 给定吸附速率方程：

\theta = \theta_e \left[1 - \exp(-r_0 t / \theta_e)\right]

其中： • \(\theta\) 是任意时间的覆盖度 • \(\theta_e\) 是平衡覆盖度 • \(r_0\) 是初始时刻的吸附速率 \(\left.\frac{d\theta}{dt}\right|_{t=0}\)

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✍️ 推导过程回顾与公式

1. 吸附动力学方程

气体 \(A\) 在活性位 \(K\) 上吸附形成 \(AK\)：

吸附速率：\(r_{\text{ads}} = k_a P_A (1 - \theta)\) 脱附速率：\(r_{\text{des}} = k_d \theta\)

于是有：

\frac{d\theta}{dt} = k_a P_A (1 - \theta) - k_d \theta

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1. 初始吸附速率

当 \(\theta = 0\) 时：

r_0 = \left. \frac{d\theta}{dt} \right|_{\theta=0} = k_a P_A

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1. 平衡覆盖度 \(\theta_e\)

平衡时，\(\frac{d\theta}{dt} = 0\)：

k_a P_A (1 - \theta_e) = k_d \theta_e \Rightarrow \theta_e = \frac{a P_A}{1 + a P_A} \quad (\text{其中 } a = \frac{k_a}{k_d})

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1. 替换变量，简化表达式

带入 \(r_0 = k_a P_A\) 与 \(\theta_e\) 得：

\frac{d\theta}{dt} = r_0 \left(1 - \frac{\theta}{\theta_e}\right)

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1. 变量分离求积分：

\int_0^\theta \frac{d\theta}{1 - \theta/\theta_e} = \int_0^t r_0 \, dt \Rightarrow -\theta_e \ln(1 - \theta / \theta_e) = r_0 t

两边同时取指数：

1 - \frac{\theta}{\theta_e} = e^{-r_0 t / \theta_e} \Rightarrow \theta = \theta_e \left[1 - e^{-r_0 t / \theta_e}\right]

✅ 推导完成。

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📌 最终结论（Markdown版笔记）

Langmuir 吸附动力学速率推导

基本假设：

• 单层吸附（monolayer adsorption）
• 吸附热与覆盖度无关
• 竞争性吸附：\(\ce{A + K <=> AK}\)
• 吸附速率：\(r_{\text{ads}} = k_a P_A (1 - \theta)\)
• 脱附速率：\(r_{\text{des}} = k_d \theta\)

动力学方程：

初始吸附速率：

平衡覆盖度：

替代与积分：

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📘 延伸知识（用于深化理解） • Langmuir 吸附模型是物理吸附和气固催化基础理论的核心。 • 若考虑覆盖度对吸附热的影响，则需引入 Temkin 模型。 • 若吸附不是单层、而是多层，则需使用 BET 模型（Brunauer–Emmett–Teller）。

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如需进一步推导 BET、Temkin 或 Freundlich 吸附等温式，可以继续问我。